What's it about?
We report a phase-shifting algorithm that recovers the wrapped phase from two or more fringe patterns with arbitrary and unknown phase shifts. For this, a new fringe-pattern normalization method is developed. (See the tutorial below).

Why is it important?
This work shows for the first time that the phase-shifting is possible with just two fringe-patterns with arbitrary and unknown phase shifts as well as variable background and modulation lights. Moreover, the derived algorithm could be used in automatic real-time applications because of its user-free and fast execution.

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Un patrón de franjas se puede describir matemáticamente como [2]

donde

• a(x, y) es la luz de fondo, componente estática, deriva, u offset,
• b(x, y) es la luz de modulación o amplitud,
• φ(x, y) es la función de fase, y
• n(x, y) es ruido aleatorio.

De aquí en adelante, la dependencia explícita (x, y) será omitida para simplificar la notación.

Generalmente, la información de interés está dada por la función de fase. En este caso, el problema consiste en extraer la función φ(x, y) a partir de la señal I(x, y). El proceso de extracción de fase se puede simplificar si primeramente se estiman las funciones a(x, y) y b(x, y) y se eliminan de la señal. El resultado será un nuevo patrón de franjas de la forma

donde s(x, y) es ruido remanente. Se puede ver que extraer la función de fase φ será más simple procesando el patrón de franjas K(x, y) de la ec. (2) que el patrón de franjas original I(x, y) de la ec. (1).

Observe que el punto crítico del proceso de normalización de franjas es la estimación de las funciones a(x, y) y b(x, y).

Existen varios métodos de normalización de patrones de franjas. Aquí se analiza un método que aprovecha el hecho de que, en general, el promedio de una función del tipo cosφ(x, y) es cero. Específicamente, el método de normalización propuesto se basa en las siguientes suposiciones.

1. El ruido es de tipo Gaussiano de media cero y varianza σ², ver ec. (3).
2. La función de fase φ es tal que la componente oscilatoria de la señal es de media cero, ver ec. (4).
3. La luz de fondo y la componente oscilatoria no están correlacionadas, ver ec. (5).
4. El producto de la luz de modulación, con la señal del ruido, y la componente oscilatoria es de media cero, ver ec. (6).

Bajo las suposiciones anteriores, se puede observar que la luz de fondo se obtiene directamente tomando el valor esperado de la señal. Ver ec. (7).

Note que la luz de modulación b(x, y) define la amplitud de la señal. Esto sugiere el uso de la varianza, que es una medida de desviación de una señal alrededor del valor medio. En la ec. (8) se muestra que la varianza del patrón de franjas está directamente relacionada al cuadrado de la luz de modulación.

De esta forma, la luz de modulación se obtiene a partir de la varianza del patrón de franjas como se muestra en la ec. (9).

Este método de normalización de patrones de franjas se puede generalizar para normalizar patrones de intensidad (señales sinusoidales que contienen dos o más funciones de fase). Aquí puedes ver el tutorial donde se hace la generalización de este método de normalización.

Observe que es necesario conocer la varianza del ruido σ² para la estimación de la función b(x, y) en la ec. (9). Si la varianza σ² no se conoce, la estimación de la luz de modulación b(x, y) puede ser afectada. Este problema se puede visualizar considerando que la luz de modulación es la «envolvente» de la señal como se muestra en la figura 2.

Para evitar el sesgo en la estimación de la luz de modulación, se debe determinar de alguna manera la varianza del ruido. Un método eficiente para resolver este problema se presenta en el artículo Estimation of amplitude and standard deviation of noisy sinusoidal signals.

[1] R. Juarez-Salazar et al., “Generalized phase-shifting interferometry by parameter estimation with the least squares method,” Optics and Lasers in Engineering 51(5), 626-632 (2013).

[2] R. Juarez-Salazar et al., “How do phase-shifting algorithms work?,” European Journal of Physics 39(6), 065302 (2018).

[3] R. Juarez-Salazar and V.H. Diaz-Ramirez, “Estimation of amplitude and standard deviation of noisy sinusoidal signals,” Optical Engineering 56(1), 013109 (2017).